MONTO SIMPLE:
MONTO: Se define como el
valor acumulado del capital. Es lasuma del capital más el interés su ecuación
Como dijimos que el monto es la suma del capital
más el interés producido por este capital, durante determinado tiempo. En forma
matemática quedaría así:
Ahora, si expresamos el Interés en forma anual y en
función del capital, quedaría así:
Al factorizar esta expresión por factor común C,
queda:
Resolviendo nuevamente el ejemplo 1, encontrando
únicamente el monto queda:
RESPUESTA: El monto es de 17,670 quetzales. Este es
el mismo valor obtenido en el ejemplo 1.
MONTO COMPUESTO DE INTERÉS FRACCIONARIO: Existen dos formas para
calcularlo:
a) Utilizando el cálculo
del monto compuesto más el monto simple
b) El segundo método
es calculándolo de manera fraccionariaTASA NOMINAL: Es aquella que denota un
crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar la moneda por inflación.
TASA EFECTIVA: Es cuando el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual.
TASA EQUIVALENTE: Cuando dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización producen el mismo interés compuesto al cabo de un año.
Son las que se pagan al final del periodo, las que teniendo diferente convertibilidad producen un mismo monto.
TASA EFECTIVA: Es cuando el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual.
TASA EQUIVALENTE: Cuando dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización producen el mismo interés compuesto al cabo de un año.
Son las que se pagan al final del periodo, las que teniendo diferente convertibilidad producen un mismo monto.
ANUALIDAD: Conjunto de pagos iguales realizados a
intervalos iguales de
Tiempo.
EJEMPLO DE ANUALIDADES:
Pagos mensuales por renta
Pagos mensuales por renta
Cobro quincenal o semanal por sueldo
Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de
crédito
Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de
vida
PLAZO DE UNA ANUALIDAD: Es el tiempo que transcurre
entre el inicio del primer pago y el final.
RENTA: Es el nombre que se da al pago periódico que
se hace
2.- MONTO, VALOR ACTUAL
3.- RENTA, PLAZO E INTERÉS
UNIDAD IV.- ANUALIDADES ANTICIPADAS
1.- INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS
2.- MONTO, VALOR ACTUAL
3.- RENTA, PLAZO E INTERÉS
EJERCICIO DE TASA NOMINAL
1.- ¿A que tasa nominal convertible
trimestralmente, un capital de $30000.00 crecerá a $100,000.00 en cinco años?
M = C (1 + i)n
100000 / 30000
= (1 + i)n
Pero (1 + i)n =
(1 + j/m)mn
Donde n = 5 años, y n = 4
Así, (1 + j/4)20 = 100000 / 30000
(1 + j/4) = (3.333333)1/20
j = 4{(3.333333)1/20 - 1)}
j = 4(1.062048 – 1)
j = 0.24819
Se requiere una tasa nominal de 24.82% convertible
trimestralmente para que un capital de $3,000.00 se convierta en un monto de
$10,000.00 en un plazo de 5 años.
EJERCICIO TASA EFECTIVA:
1.- ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se
recibe de un depósito bancario de $1000.00, pactado a 18% de interés anual
convertible mensualmente?
M = 1000
(1+0.015)12
M =
1000(1.195618)
M = 1195.62ç
I = M – C
I = 1195.62 –
1000
I = 195.62
i = I / C
i = 195.62 / 1000
i = 0.1956
La tasa efectiva de interés ganada es de 19.56%
La tasa equivalente a una tasa anual de 18%
convertible mensualmente es de 19.56% convertible anualmente.
La relación entre ambas tasa puede verse como
sigue: sea i la tasa efectiva de interés, j la tasa de interés nominal, y m el
número de periodos de capitalización al año.
Se ha estableció que ambas tasas son equivalentes
si producen el mismo interés al cabo de un año.
Por lo tanto C (1 + i) = C(1 + j/m)m
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre C,
tenemos:
(1 + i) =(1 + j/m)m
i =(1 + j/m)m - 1
Retomado el ejemplo anterior:
i = (1 + 0.18 / 12)12 – 1
i = (1 + 0.015)12 – 1
i = (1.195618) – 1
i = 0.195618
i = 19.56 %
Calcular el monto de $10,000.00 prestados al 8% de
interés anual,
Durante 9 años capitalizables semestralmente.
Datos: Formula:
na*m
M = ? M = C(1+j/m)
C = $10,000.00
j = 8% Sustitución:
9*2
m = 12 meses/año M =$10,000(1+ 0.08/2)
18
na = 9 años M = $10,000(1.04)
M = $10,000(2.025)
M = $20,250.00
EJERCICIOS DE TASA EQUIVALENTE:
¿Cuál es la Tasa efectiva que se paga por un
préstamo bancario de $250,000.00 que se pacta a 18% de interés anual? Y se
convierte:
a) Mensual Datos:
b)Trimestral C = $250,000.00
c)Semestral j = 18% = 0.18
m = a) 12
b) 4
c) 2
na = 1
DESARROLLO:
Se ha establecido que ambas tasas son Equivalentes
si producen un mismo
Interés al cabo de un año
Nota: Los números en rojos son potencias.
Determinar la tasa nominal i convertible trimestralmente,
que produce un rendimiento anual del 40%.
En esta caso la tasa de interés efectiva es ya
conocida (puede ser la tasa de inflación esperada en Un año), y se desea
conocer la tasa nominal j convertible
Trimestralmente que producirá dicho rendimiento.
Fórmulas para calcular el monto y valor actual de
anualidades simples,
Monto
M= R[ (1+i)n - 1]
------------
i
Valor Actual
C = R[ 1-
(1+i)-n]
------------
i
Dónde:
R = Renta o pago por periodo
M = Monto o valor en el momento de su vencimiento,
es el valor de todos
los pagos al final de las operaciones.
n = número de anualidades, periodos o pagos.
C = valor actual o capital de la anualidad. Valor
total de los pagos en el momento presente.
i = tasa de interés efectiva
m = número de capitalización
j = tasa de interés nominal
Na = Número de años
Solución de Problemas
Monto
Ejercicio 1. Que cantidad se acumularía en un
semestre si se depositaran $ 100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de
inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente.
En un diagrama de tiempo y valor lo anterior nos
quedaría de la siguiente manera:
Al ser una tasa anual convertible mensualmente
tenemos:
36/100/12 = .03 i = .03 n = 6
Como lo que se trata es de conocer lo que se
acumula en un lapso de tiempo (en este caso 6 meses y en lo que existe una
cantidad constante "anualidad " a abonarse a la operación) por lo
tanto estamos hablando de conocer un monto y en consecuencia la fórmula que utilizaremos
es:
M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 000 [ ( 1 + .03 )6 -
1 ]
------------ ----------------
i .03
Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = 646 840.98
Lo anterior también se pudo haber resuelto por
medio de la fórmula de interés compuesto donde tenemos: M = C (1 + i )n
Observando el diagrama de tiempo y valor de la
parte superior podemos deducir que los primeros 100, 000 pesos ganan interés
por meses, los siguientes por 4,3,2,1 y los últimos no ganan interés sino que
solo se suman al monto por lo cual podemos decir :
M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115 927
M = 100 000 ( 1 + .03 )4 = 112 551
M = 100 000 ( 1 + .03 )3 = 109 273
M = 100 000 ( 1 + .03 )2 = 106 090
M = 100 000 ( 1 + .03 )1 = 103 000
-----------
546 841
+ 100 000 los últimos 100 000 que no ganan interés
tenemos 646 841 (esto esta redondeado por los cual es diferente al valor
obtenido arriba en 2 centavos).
Una manera más de realizar lo anterior seria
mediante la fórmula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada
semestre más el depósito (100 000) que se hacen al final de cada semestre.
Tiempo
Cantidad
Monto
Final 1er mes
100 000
100 000
Final 2do mes
100 000(1+ .03)1+100 000
203 000
Final 3er mes
203 000(1 + .03)1 + 100 000
309090
Final 4to mes
309090(1 + .03)1 + 100 000
418 362.7
Final 5to mes
418 362.7(1 + .03)1 + 100 000
530 913.58
Final 6to mes
530 913.58 (1 + .03)1 + 100 000
646 840.98
Ejercicio 2. Cuál es el monto de $ 2 000
semestrales depositados durante cuatro años y medio en una cuenta bancaria que
rinde 28% capitalizable semestralmente.
R = 2 000 n = 4.5/2 = 9 i = 28/100/2 = .14 y
utilizando la fórmula para calcular el monto en operaciones que implican
anualidades tenemos:
M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 2 000 [ ( 1 + 0.14)9 - 1
]
------------ ----------------
i 0.14
De donde tenemos M = 2000 (16.085348 ) = 32 170.69
Lo anterior también se pudo haber resuelto por
medio de la fórmula de interés compuesto donde tenemos: M = C (1 + i )n
Fórmula
Monto
M = 2000 (1+.14)8
5 705.17 n es igual a 8 porque los depósitos se
hacen al final de cada semestre o sea que hasta que transcurre el primer
semestre se realiza el primer deposito.
M = 2000 (1+.14)7
5 004.53
M = 2000 (1+.14)6
4 389.94
M = 2000 (1+.14)5
3 850.82
M = 2000 (1+.14)4
3 377.92
M = 2000 (1+.14)3
2 963 .08
M = 2000 (1+.14)2
2 599.2
M = 2000 (1+.14)1
2 280.00
Total
30 170 .69
más los 2000 del último semestre que no ganan
interés
32 170.69 cantidad igual a la obtenida con la
fórmula del monto en anualidades
Una manera más de realizar lo anterior seria
mediante la fórmula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada
semestre más el depósito
(2 000) Que se hacen al final de cada semestre:
Tiempo
Cantidad
Monto
Final 1er semestre
2 000
2 000
Final 2do
semestre
2 000(1+
0.14)1+ 2000
4 280
Final 3er
semestre
2 000(1+
0.14)1+ 2000
6 879.2
Final 4to
semestre
2 000(1+
0.14)1+ 2000
9 842.28
Final 5to
semestre
2 000(1+
0.14)1+ 2000
13 220 .20
Final 6to
semestre
2 000(1+
0.14)1+ 2000
17 071.03
Final 7to
semestre
2 000(1+
0.14)1+ 2000
21 460.98
Final 8to
semestre
2 000(1+
0.14)1+ 2000
26 465.52
Final 9to
semestre
2 000(1+ 0.14)1+ 2000
Valor actual
Ejercicio 3. Cual es el valor actual de una renta
de $450 pesos depositados al final de cada uno de 7 trimestres si la tasa de
interés es del 9% trimestral.
Debemos de entender como valor actual la cantidad
de dinero que a una tasa del 9% trimestral nos permitiera obtener $450 pesos
cada trimestre. O sea que si sumamos los 450 de cada trimestre obtenemos 3150 y
lo que estamos buscando es una cantidad menor que mas los intereses nos permita
obtener estos 450 por trimestre.
C = ?
R = 450
i = 0.09
n = 7
C = R[ 1-
(1+i)-n ] C = 450 [1 - ( 1 + .09)-7 ]
-----------
--------------
i 0.09
Lo cual nos da 450 (5.03295284) = 2 264.82 que es
el valor que estamos buscando o sea la respuesta a este ejercicio.
Comprobación:
Utilizando la fórmula del interés compuesto para
calcular un capital o valor actual tenemos:
Fórmula
Capital
C = 450
-----
(1 + .09)1
412.84
C = 450
-----
(1 + .09)2
378.76
C = 450
-----
(1 + .09)3
347.48
C = 450
-----
(1 + .09)4
318.79
C = 450
-----
(1 + .09)5
292.47
C = 450
-----
(1 + .09)6
268.32
C = 450
-----
(1 + .09)7
246.16
Total
2 264.82 que es la misma cantidad obtenida por
medio de la fórmula de anualidades
Ejercicio 4. Que es más conveniente para comprar un
automóvil:
Pagar $ 26,000 de contado o
b) $13,000 de enganche y $ 1300 al final de cada
uno de los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a razón del 42%
convertible mensualmente.
Para resolver este problema debemos ver el valor
actual del enganche y los 12 abonos mensuales a esa tasa de interés y
compararlos contra el pago de contado.
R = 1300
n = 12
i = 42/100/12 = 0.035
Utilizando la fórmula del valor actual en
anualidades tenemos:
C = R[ 1- (1+i)-n ] 1300[ 1 - (1+0.035)-12]
----------- ------------------
i 0.035
C = 1300 (9.663334) lo cual nos da 12 562.34, si a
esto sumamos el enganche 13,000 tenemos 25,562.34 que es menor que el pago de
contado y por lo tanto es más conveniente esta opción.
Ejercicio 5. Encuéntrese el importe pagado, en
valor actual por un aparato electrónico por el cual se entregó un enganche de $
1 400 pesos, se hicieron 7 pagos mensuales vencidos por $ 160 y un último pago
al final del octavo mes por $ 230, si se considera un interés del 27% anual con
capitalización mensual.
Para resolver este problema nos damos cuenta que el
enganche es valor actual así que necesitamos conocer el valor actual de cada
uno de los siete pagos (iguales 160) y el octavo que es mayor para lo cual
haremos uso de la formula que nos permite calcular el valor actual de
anualidades y la formula que nos permite conocer el valor actual de un monto
(230) a una tasa de interés ( 27% anual convertible mensualmente) en un lapso
de tiempo (8).
Solución es igual a:
a) El enganche
b) El valor actual de la anualidad con renta de 160
c) El valor actual del pago final
b) Usando la fórmula para el cálculo de anualidades
tenemos
i = 27/100/12 = 0.0225
n = 12
C = R[ 1- (1+i)-n ] 160[ 1 - (1+0.0225)-7]
----------- ------------------
i 0.0225
C = 160 ( 6.410246) = 1025.64
c) Usando la fórmula para cálculo de capital o
valor actual del
Interés compuesto tenemos:
C = M 230 230
------ -------- --------
(1 + i )n (1 + 0.0225)8 1.19483114
C = 192.50
Sumando los tres importes tenemos 1400 + 1025.64
+192.50 = $ 2 618.14
Que corresponde al valor actual pagado por el
aparato electrónico.
¿QUE SON LAS ANUALIDADES ANTICIPADAS?
Son aquellas en la que los pagos se hacen al
principio del periodo
Como por ejemplo:
El pago mensual que se hace cuando se renta una
casa, ya que primero se pago y luego se habita el inmueble.
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