Leyes de exponentes
La ley de los exponentes no es más que sumar multiplicar o dividir exponentes, solo necesitamos saber en qué momento tenemos que hacer cada operación. Un exponente se puede definir como el número que define la cantidad de veces que se tiene qué multiplicar un factor por sí mismo, sencillo ¿verdad? el problema es cuando tenemos que elevar algo a la "cero" o manejar exponentes fraccionarios o incluso exponentes literales, las siguientes reglas serán de utilidad:
De acuerdo con las reglas anteriores tenemos que todo número elevado a la "cero" es igual a la unidad, un factor elevado a la unidad da como resultado el mismo número, también que un exponente negativo indica que divide al factor que lo acompaña o que cuando multiplicamos factores con misma base debemos sumar los exponentes, etc.
LEYES DE LOGARITMOS
Logaritmos definición y ejemplos
Propiedades de los logaritmos
Ejercicios resueltos
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9 ... es una progresión aritmética de constante 2. Así como: 5 ; 2 ; -1 ; -4 es una progresión aritmética de constante "-3".
Término general de una progresión aritmética
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándose la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:
Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es 
y la diferencia común es 
, entonces el término 
-ésimo de la sucesión viene dada por
, n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:
de diferencia
tenemos que:
...
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:
(I)
expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos 
y 
(
) de la progresión anterior y pongámolos en función de 
:
Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
(II)
expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
Dependiendo de que la diferencia de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (
)d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (
)d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.
Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (
)
Interpolación de términos restantes
Interpolar k términos diferenciales entre dos números y 
dados, es formar una progresión aritmética de 
términos, siendo el primero y el último. El problema consiste en encontrar la diferencia de la progresión.
Apliquemos (II), , teniendo en cuenta que 
, 
, 
y 
:
de dónde, si despejamos d:
(III)
Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales entre 2 y 14. Calculamos la diferencia de la progresión según (III) haciendo a = 2, b = 14, k = 3
Los términos a interpolar serán 
, 
, y 
.
Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:
2, 5, 8, 11, 14 Suma de términos de una progresión aritmética
Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética. En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquellos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos
Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central. Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.
Sea la progresión aritmética de diferencia d :
Sumemos el primer y último términos:
(IV)
Veamos ahora la suma de dos términos equidistantes de los extremos. Éstos serán de la forma 
y 
, siempre que 
.
Aplicando (I)
Sumamos y obtenemos:
el mismo resultado que el obtenido para 
.
Concluimos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:
El término central de una progresión aritmética
En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central ac es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.
Sea la progresión aritmética a1, a2, a3,...., ac,...., an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac. De acuerdo con la expresión del término general en (I)
pero para el término central
sustituimos este valor de c y resolvemos:
(V)
y comparando con (IV) es evidente que:
Resumiendo, hemos demostrado que:
(VI)
Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética.Se considera una subprogresión que empieza en el término de orden m hasta el de orden n, hay un número impar de términos. Luego la media aritmética de los términos de la subprogresión es igual a su término central.Por ejemplo, la progresión cuyos términos son lo impares de 1 en adelante. Tómese la subprogresión 7,9,11,13,15. La media aritmética es (7+9+11+13+15)/5 = 11 = término central.1
Suma de todos los términos de una progresión aritmética
La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:
donde 
es el primer término y 
el último. Demostremos.
Sea una progresión aritmética de término general y de diferencia d:
aplicando la propiedad conmutativa de la suma:
Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad asociativa de la suma:
pero según IV, y según VI sabemos que todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor que 
, de manera que:
(VII)
ya tenemos la suma de todos los términos de una progresión aritmética conociendo sus términos extremos, y el número total de aquéllos. La utilidad de (VII) se comprende mejor cuando nos las vemos con un número muy grande de términos en una progresión. Por ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros múltiplos positivos de 5? El resultado es inmediato:
más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cinco segundos.
Así también, para hallar la suma de los n primeros enteros positivos:
lo que también se conoce como número triangular.
Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Carl Friedrich Gauss cuando su profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y calculó el resultado de inmediato: 5050.
Esto se puede explicar más detalladamente:
(por la propiedad conmutativa de la suma, se pueden expresar los sumandos en este orden)
(hay n/2 sumandos al sumar los términos anteriores, el n con el 1, el n-1 con el 2, etc)
En el caso del problema de Gauss, n vale 100 y S = 100·101/2 = 5050.
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Término general de una progresión aritmética
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándose la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:
Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común es , entonces el término -ésimo de la sucesión viene dada por, n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero. n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
y la diferencia común es , entonces el término -ésimo de la sucesión viene dada por, n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero. n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:
de diferencia
tenemos que:
...
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:
(I)
expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos y () de la progresión anterior y pongámolos en función de :
y () de la progresión anterior y pongámolos en función de :
Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
(II)
expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
Dependiendo de que la diferencia de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... ()d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
)d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... ()d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.
)d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.
Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... ()
)
Interpolación de términos restantes
Interpolar k términos diferenciales entre dos números y dados, es formar una progresión aritmética de términos, siendo el primero y el último. El problema consiste en encontrar la diferencia de la progresión.
y dados, es formar una progresión aritmética de términos, siendo el primero y el último. El problema consiste en encontrar la diferencia de la progresión.
Apliquemos (II), , teniendo en cuenta que , , y :
, teniendo en cuenta que , , y :
de dónde, si despejamos d:
(III)
Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales entre 2 y 14. Calculamos la diferencia de la progresión según (III) haciendo a = 2, b = 14, k = 3
Los términos a interpolar serán , , y .
, , y .
Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:
2, 5, 8, 11, 14 Suma de términos de una progresión aritmética
Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética. En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquellos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos
Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central. Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.
Sea la progresión aritmética de diferencia d :
Sumemos el primer y último términos:
(IV)
Veamos ahora la suma de dos términos equidistantes de los extremos. Éstos serán de la forma y , siempre que .
y , siempre que .
Aplicando (I)
Sumamos y obtenemos:
el mismo resultado que el obtenido para .
.
Concluimos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:
El término central de una progresión aritmética
En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central ac es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.
Sea la progresión aritmética a1, a2, a3,...., ac,...., an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac. De acuerdo con la expresión del término general en (I)
pero para el término central
sustituimos este valor de c y resolvemos:
(V)
y comparando con (IV) es evidente que:
Resumiendo, hemos demostrado que:
(VI)
Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética.Se considera una subprogresión que empieza en el término de orden m hasta el de orden n, hay un número impar de términos. Luego la media aritmética de los términos de la subprogresión es igual a su término central.Por ejemplo, la progresión cuyos términos son lo impares de 1 en adelante. Tómese la subprogresión 7,9,11,13,15. La media aritmética es (7+9+11+13+15)/5 = 11 = término central.1
Suma de todos los términos de una progresión aritmética
La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:
donde es el primer término y el último. Demostremos.
es el primer término y el último. Demostremos.
Sea una progresión aritmética de término general y de diferencia d:
y de diferencia d:
aplicando la propiedad conmutativa de la suma:
Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad asociativa de la suma:
pero según IV, y según VI sabemos que todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor que , de manera que:
, de manera que:
(VII)
ya tenemos la suma de todos los términos de una progresión aritmética conociendo sus términos extremos, y el número total de aquéllos. La utilidad de (VII) se comprende mejor cuando nos las vemos con un número muy grande de términos en una progresión. Por ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros múltiplos positivos de 5? El resultado es inmediato:
más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cinco segundos.
Así también, para hallar la suma de los n primeros enteros positivos:
lo que también se conoce como número triangular.
Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Carl Friedrich Gauss cuando su profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y calculó el resultado de inmediato: 5050.
Esto se puede explicar más detalladamente:
(por la propiedad conmutativa de la suma, se pueden expresar los sumandos en este orden) (hay n/2 sumandos al sumar los términos anteriores, el n con el 1, el n-1 con el 2, etc)
En el caso del problema de Gauss, n vale 100 y S = 100·101/2 = 5050.
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, 
es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo 
el término en cuestión, 
el primer término y 
, la razón:
es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo el término en cuestión, el primer término y , la razón:
En el ejemplo anterior, el cuarto elemento de la serie es:
Ejemplos de progresiones geométricas
La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternanteporque los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertos autores que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que 
en la definición.
en la definición.Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
Se denomina como Sn a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
puesto que
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.
Despejando
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como
que expresa la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.
Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios
(ambos inclusive): 
Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
Producto de los primeros "n" términos de una progresión geométrica
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad
, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si , 
tiende hacia 0, de modo que:
Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:
El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula
(si 
).Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón r (si
), están en progresión aritmética de diferencia ㏒ r, se tiene:
, y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.
:3
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